Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知Q（﹣1，3），A（0，4），點P為x軸上一動點，以QP為腰作等腰Rt△QPH，當OH+AH最小時，點H的橫坐標為_____．

Answer 1

【答案】1.5

【解析】

作QN、HM垂直于x軸于N、M，則△QNP≌△PMH，推出PN＝HM，QN＝PM，設OP＝x，得H（x＋3，x＋1），求出點H的運動軌跡即可解決問題．

解：作QN、HM垂直于x軸于N、M，

∵Rt△QPH是等腰三角形，

∴

又

∴

∵QP=PH

∴△QNP≌△PMH，

∴PN＝HM，QN＝PM，設OP＝x，得H（x+3，x+1），

∴H點在直線y＝x-2上運動，

即H點在直線HG上運動，

作A點關于直線y＝x-2的對稱點F，

連OF交于點E，

當H點與E點重合時OH+AH最小，

令函數y＝x-2，x=0,得y=-2, 令函數y＝x-2=0,得x=2,

∴G（0，-2），B（2，0）

又k=1,

∴∠HBM=45°

可得∠AMN=45°，則∠FAG=45°

根據對稱性可知AG=GF，

∴∠AFG=45°

故GF⊥AG

∴GF=6

則F（6，2）

設直線OF解析式為y=k2x

把F（6，2）代入得2=6k2，

∴k2=-

∴直線OF解析式為y=- x

聯立函數y＝x-2，解得x=1.5，y=0.5

∴E點的橫坐標為1.5，

故答案為1.5．