Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊始終經過點C，另一直角邊與AB交于點E．
（1）△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程；
（2）是否存在這樣的點P，使△CDP的周長等于△PAE周長的2倍？若存在，求DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，直角尺的直角頂點P在AD上滑動時，一直角邊始終經過點C，另一直角邊與AB交于點E，易得∠A=∠D=90°，∠APE=∠PCD，繼而證得△CDP與△PAE相似；
（2）假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=AD-DP=11-x，由相似三角形的周長比等于相似比，易得

6

11-x

=2，繼而求得答案．

解答：解：（1）△CDP∽△PAE．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+CPD=90°，
∵∠CPE=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠APE=∠PCD，
∴△CDP∽△PAE；

（2）假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=AD-DP=11-x，
∵△CDP∽△PAE，
∴

CD

AP

=2，
∴

6

11-x

=2，
解得：x=8，
∴AP=3，AE=4，
即DP=8．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及矩形的性質．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．