Question

【題目】如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于兩點，與軸交于點，點的坐標為，點為拋物線上的一個動點，過點作軸于點，交直線于點.

（1）求拋物線解析式；

（2）若點在第一象限內，當時，求四邊形的面積；

（3）在（2）的條件下，若點為直線上一點，點為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點和點，使得以點為頂點的四邊形是菱形？若存在上，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

【溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便探究】

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形.

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，于是列方程即可得到結論；

（2）根據函數解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式為y=x﹣2，設D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根據已知條件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根據三角形的面積公式即可得到結論；

（3）設M（n，n﹣2），①以BD為對角線，根據菱形的性質得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD為邊，根據菱形的性質得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，過M作MH⊥x軸于H，根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，∴，解得：，拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2；

（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，當x=0時，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），設BC的解析式為y=kx+b，則，解得：，∴y=x﹣2，

設D（m，0），

∵DP∥y軸，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），

∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），

∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），

∴四邊形POBE的面積=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=；

（3）存在，設M（n，n﹣2），

①以BD為對角線，如圖1，

∵四邊形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，

∴n=4+，∴M（，），

∵M，N關于x軸對稱，∴N（，﹣）；

②以BD為邊，如圖2，

∵四邊形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

過M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，

∴n1=4（不合題意），n2=5.6，∴N（4.6，），

同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

∴n1=4+（不合題意，舍去），n2=4﹣，

∴N（5﹣，），

③以BD為邊，如圖3，

過M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，

∴n1=4+，n2=4﹣（不合題意，舍去），

∴N（5+，），

綜上所述，當N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形．