Question

【題目】已知拋物線y=ax2+ c(a≠0)．

（1）若拋物線與x軸交于點B(4，0)，且過點P(1，–3)，求該拋物線的解析式；

（2）若a>0，c =0，OA、OB是過拋物線頂點的兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于A、B 兩點，求證：直線AB恒經過定點(0，)；

（3）若a>0，c <0，拋物線與x軸交于A，B兩點(A在B左邊)，頂點為C，點P在拋物線上且位于第四象限．直線PA、PB與y軸分別交于M、N兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）為定值，=

【解析】

（1）把點B(4，0)，點P(1，–3)代入y=ax2+ c(a≠0)，用待定系數法求解即可；

（2）如圖作輔助線AE、BF垂直x軸，設A(m，am2)、B(n，an2)，由△AOE∽△OBF，可得到，然后表示出直線AB的解析式即可得到結論；

（3）作PQ⊥AB于點Q，設P（m，am2+c）、A（–t，0）、B（t，0），則at2+c=0， c= –at2

由PQ∥ON，可得ON=amt+at2，OM= –amt+at2，然后把ON，OM，OC的值代入整理即可.

（1）把點B(4，0)，點P(1，–3)代入y=ax2+ c(a≠0)，

，

解之得

，

∴；

（2）如圖作輔助線AE、BF垂直x軸，設A(m，am2)、B(n，an2)，

∵OA⊥OB，

∴∠AOE=∠OBF，

∴△AOE∽△OBF，

∴，，，

直線AB過點A(m，am2)、點B(n，an2)，

∴過點（0，）;

（3）作PQ⊥AB于點Q，設P（m，am2+c）、A（–t，0）、B（t，0），則at2+c=0， c= –at2

∵PQ∥ON，

∴，

ON=====at(m+t)= amt+at2，

同理：OM= –amt+at2，

所以，OM+ON= 2at2=–2c=OC，

所以，=.