Question

【題目】已知等邊△ABC的邊長為4cm，點P，Q分別從B，C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；
點Q沿CA，AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s），
（1）如圖（1），當x為何值時，PQ∥AB；

（2）如圖（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如圖（3），當點Q在AB上運動時，PQ與△ABC的高AD交于點O，OQ與OP是否總是相等？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=60°，
∴當PC=CQ時，△PQC為等邊三角形，
于是∠QPC=60°=∠B，
從而PQ∥AB，
∵PC=4﹣x，CQ=2x，
由4﹣x=2x，
解得：x= ，
∴當x= 時，PQ∥AB
（2）解：∵PQ⊥AC，∠C=60°，
∴∠QPC=30°，
∴CQ= PC，
即2x= （4﹣x），
解得：x=
（3）解：OQ=PO，理由如下：
作QH⊥AD于H，如圖（3），

∵AD⊥BC，
∴∠QAH=30°，BD= BC=2，
∴QH= AQ= （2x﹣4）=x﹣2，
∵DP=BP﹣BD=x﹣2，
∴QH=DP，
在△OQH和△OPD中，
，
∴△OQH≌△OPD（AAS），
∴OQ=OP．
【解析】（1）可從結論入手，若PQ∥AB，可得出△PQC為等邊三角形，PC=4﹣x=CQ=2x，進而求出x;（2）利用直角三角形中30度角的性質，得出CQ= PC，求出x;(3)通過Q點作垂線，利用x的代數式表示QH=DP，構造△OQH≌△OPD，進而OQ=OP.