Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ADB=90°，點E為AB邊的中點，點F為CD邊的中點．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）若∠A=45°，求證：四邊形DEBF是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∵點E為AB邊的中點，點F為CD邊的中點，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∵∠ADB=90°，點E為AB邊的中點，

∴DE=BE=AE，

∴四邊形DEBF是菱形；

（2）解：∵∠ADB=90°，∠A=45°，

∴∠A=∠ABD=45°，

∴AD=BD，

∵E為AB的中點，

∴DE⊥AB，

即∠DEB=90°，

∵四邊形DEBF是菱形，

∴四邊形DEBF是正方形．

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得出DC∥AB，DC=AB，求出DF∥BE，DF=BE，得出四邊形DEBF是平行四邊形，求出DE=BE，根據菱形的判定得出即可；（2）求出AD=BD，根據等腰三角形的性質得出DE⊥AB，根據正方形的判定得出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．