Question

如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，點B是⊙O 上一點，連接BP并延長，交直線l于點C，使得 AB=AC.  

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若PC=，OA=5，求⊙O的半徑

和線段PB的長．

 

 

Answer 1

解：（1）連接OB。

∵AB=AC    ∴∠ACP=∠ABC

∵OP=OB，  ∴∠2=∠3

∵OA⊥AC   ∴∠OAC=90°

∴∠1+∠ACP=90°

∵∠2=∠3=∠1

∴∠3+∠ABC=90°     

∴AB是⊙O的切線    

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r

又∵PC=，

∴

由（1）AB=AC得，

解得：r=3     

∴AB=AC=4

∵PD是直徑，∴∠PBD=90°=∠PAC

∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA

∴，即，

解得