Question

如圖（l），在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC上，且AE＝BF，AF與DE交于點G．

（1）試探索線段AF、DE的數量和位置關系，寫出你的結論并說明理由；
（2）連結EF、DF，分別取AE、EF、FD、DA的中點H、I、J、K，則四邊形HIJK是什么特殊平行四邊形？請在圖（2）中補全圖形，并說明理由．

Answer 1

(1) AF=DE且AF⊥DE，理由見解析（2）正方形，理由見解析

(1) AF=DE且AF⊥DE
在△ABF和△DAE中,
∵AB="DA," ∠B=∠DAE,BF=AE
∴△ABF≌△DAE                   
∴AF=DE,                         …………2分
∠BAF=∠ADE              
又∵∠BAF+∠DAG=90^o
∴∠ADE+∠DAG=90^o
∴∠AGD=90^o , 即AF⊥DE.           …………4分
(2) 四邊形HIJK是正方形
∵H、I、J、K分別是AE、EF、FD、DA的中點
∴HK∥DE且HK =,IJ∥DE且IJ =
∴HK ∥IJ且HK =IJ
∴HIJK是平行四邊形                 …………6分
同理可證HI∥KJ且HI=KJ=,       
又∵AF=DE ∴HI=IJ ∴HIJK是菱形  …………8分
又∵AF⊥DE ∴HI⊥IJ
∴四邊形HIJK是正方形.                …………9分
（1）根據已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE．
（2）根據已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位線，由全等三角形的判定可得到四邊形四邊都相等且有一個角是直角，從而來可得到該四邊形是正方形．