Question

【題目】（1）①如圖①的內角的平分線與內角的平分線相交于點，請探究與的關系，并說明理由．

②如圖②，的內角的平分線與外角的平分線相交于點，請探究與的關系，并說明理由．

（2）如圖③④，四邊形中，設，， 為四邊形的內角與外角的平分線所在直線相交而行成的銳角．請利用（1）中的結論完成下列問題：

①如圖③，求的度數．（用 的代數式表示）

②如圖④，將四邊形沿著直線翻折得到四邊形，為延長線上一點，連接，與的角平分線交于點，求與的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①∠M=90°+∠A；②2∠P=∠A；

（2）①∠P=(+)-90°；②∠Q=180°-∠P.

【解析】

（1）①先由三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數，再根據BM，CM分別平分∠ABC和∠ACB求出∠MBC+∠MCB，由三角形內角和定理可求∠M與∠A的關系；

②根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，再根據角平分線的性質即可得解；

（2）①延長BA交CD的延長線于F，由（1）的結論和三角形內角和定理可求∠P的度數；

②延長CG交BN于H，由（1）的結論和三角形外角的性質可求∠Q與∠P的數量關系.

解：（1）①∠M=90°+∠A

理由如下：

∵∠A+∠ABC+ =180°

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A

∵BM，CM分別平分∠ABC和∠ACB

∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB

∴∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)

∴∠M=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-(180°-∠A)= 90°+∠A

②2∠P=∠A

理由如下：

∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC

又∵P點是與外角的角平分線的交點

∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC

∴2(∠P+∠PBC)= ∠A+∠ABC

∴2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC

∴2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC

∴2∠P=∠A

（2）①延長BA交CD的延長線于F

∵∠F=180°-∠FAD-∠FDA=180°-(180°-)-(180°-)=+-180°

由（1）知，∠P=∠F

∴∠P=(+)-90°

②延長CG交BN于H

∵將四邊形沿著直線翻折得到四邊形

∴∠BFG=∠A=，∠CGF=∠D=

∵∠GHN=∠HFG+∠HGF=180°-+180°-

∴∠GHN=360°- (+)，且∠P=(+)-90°

∴∠GHN=360°-(2∠P+180°)=180°-2∠P

∵∠GCN與∠FNC的角平分線交于點Q

由（1）知，∠Q=90°+∠GHN

∴∠Q=90°+(180°-2∠P)=180°-∠P.

故答案為（1）①∠M=90°+∠A；②2∠P=∠A；

（2）①∠P=(+)-90°；②∠Q=180°-∠P.