Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若OB=5，OP= ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°．

又∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠B，

∴∠BAC+∠AOP=90°．

∵∠P=∠BAC．

∴∠P+∠AOP=90°，

∴由三角形內角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．

又∵OA是的⊙O的半徑，

∴PA為⊙O的切線

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，

∴OA=OB=5．

又∵OP= ，

∴在直角△APO中，根據勾股定理知PA= = ，

由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．

∵∠BAC=∠P，

∴△ABC∽△POA，

∴ = ．

∴ = ，

解得AC=8．即AC的長度為8

【解析】（1）欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP；（2）通過相似三角形△ABC∽△PAO的對應邊成比例來求線段AC的長度．