Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，猜想：四邊形DFBE是什么特殊的四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

AB=CD，∠A=∠C．

AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．

∴∠ABE=∠CDF．

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS）

（2）解：四邊形DFBE是矩形．理由如下：

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∵AB=DB，AB=CD，

∴DB=CD．

∵DF平分∠CDB，

∴DF⊥BC，即∠BFD=90°．

在□ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠EDF+∠DEB=180°．

∴∠EDF=90°．

∴∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．

∴四邊形DFBE是矩形

【解析】（1）首先利用平行四邊形的想得到AB=CD，∠A=∠C，再利用角平分線的性質得到∠ABE=∠CDF，利用ASA證明△ABE≌△CDF；（2）證明∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．