Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為，并與軸交于點，點是對稱軸與軸的交點．

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖①所示, 是拋物線上的一個動點,且位于第一象限，連結BP、AP,求的面積的最大值;

(3)如圖②所示，在對稱軸的右側作交拋物線于點,求出點的坐標;并探究:在軸上是否存在點,使?若存在，求點的坐標;若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，最大值為；（3）存在，點坐標為，理由見解析

【解析】

(1)利用待定系數法可求出二次函數的解析式；

(2)求三角形面積的最值，先求出三角形面積的函數式.從圖形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,設P求出關于n的函數式，從而求S△PAB的最大值.

(3) 求點D的坐標，設D,過D做DG垂直于AC于G,構造直角三角形，利用勾股定理或三角函數值來求t的值即得D的坐標;探究在y軸上是否存在點,使?根據以上條件和結論可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，聯想到同弧所對的圓周角和圓心角，所以以A為圓心，AO長為半徑做圓交y軸與點Q,若能求出這樣的點，就存在Q點.

解：拋物線頂點為

可設拋物線解析式為

將代入得

拋物線，即

連接，

設點坐標為

當時，最大值為

存在，設點D的坐標為

過作對稱軸的垂線，垂足為,

則

在中有

化簡得

（舍去），

∴點D(,-3)

連接，在中

在以為圓心，為半徑的圓與軸的交點上

此時

設點為(0,m), AQ為的半徑

則AQ=OQ+OA, 6=m+3

即

∴

綜上所述，點坐標為

故存在點Q，且這樣的點有兩個點.