Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2，且l3與l1，l2分別交于A，B兩點，l4與l1，l2相交于C，D兩點，點P在直線AB上．

（1）【探究1】如圖1，當點P在A，B兩點間滑動時，試探究∠1，∠2，∠3之間的關系是否發生變化？并說明理由；

（2）【應用】如圖2，A點在B處北偏東32°方向，A點在C處的北偏西56°方向，應用探究1的結論求出∠BAC的度數．

（3）【探究2】如果點P在A，B兩點外側運動時，試探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）過點P作PQ∥AC，交CD于點Q，由PQ∥l1∥l2結合“兩直線平行，內錯角相等”找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”，再通過角的計算即可得出結論；

（2）分別在B點和A點處畫方位圖，結合（1）的結論即可算出結果；

（3）分點P的位置不同來考慮：①當點P在A點上方時，過點P作PQ∥AC，交CD于點Q，由PQ∥l1∥l2結合“兩直線平行，內錯角相等”找出“∠QPC=∠ACP，∠QPD=∠BDP”，再通過角的計算即可得出結論；②當點P在B點下方時，過點P作PQ∥AC，交CD于點Q，利用①的方法可得出結論．綜合①②即可得出結論．

解：（1）當點P在A、B兩點間滑動時，∠2=∠1+∠3保持不變．理由如下：

過點P作PQ∥AC，交CD于點Q，如圖1所示．

∵PQ∥AC，

∴∠1=∠CPQ，

又∵PQ∥AC，BD∥AC，

∴PQ∥BD，

∴∠3=∠DPQ，

∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，

即∠1+∠3=∠2．

（2）分別在B點和A點處畫方位圖，如圖2所示．

由（1）知：∠2=∠1+∠3

∴∠BAC=32°+56°=88°．

（3）①當點P在A點上方時，過點P作PQ∥AC，交CD于點Q，如圖3所示．

∵PQ∥AC，

∴∠QPC=∠ACP．

又∵PQ∥AC，BD∥AC，

∴PQ∥BD，

∴∠QPD=∠BDP．

又∵∠CPD=∠QPD﹣∠QPC，

∴∠CPD=∠BDP﹣∠ACP．

②當點P在B點下方時，過點P作PQ∥AC，交CD于點Q，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=∠ACP﹣∠BDP．

綜上：∠CPD=|∠ACP﹣∠BDP|．