Question

【問題提出】我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

【問題解決】如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．

解：由圖可知：，．

∴．

∵a≠b，∴＞0．

∴M－N＞0．∴M＞N．

【類比應用】(1)已知：多項式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．

試比較M與N的大小．

(2)已知：如圖2，銳角△ABC (其中BC為a ，AC為 b，

AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，現將△ABC 補成長方形，

使得△ABC的兩個頂點為長方形的兩個端點，第三個頂點落

在長方形的這一邊的對邊上。

 

①這樣的長方形可以畫     個；

②所畫的長方形中哪個周長最小？為什么？

【拓展延伸】 已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內接正方形EFGH , 使E、F兩點在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內接正方形，問哪條邊上的內接正方形面積最大？為什么？

 

Answer 1

【答案】

1）（2）①3

②以最短邊為邊所畫的長方形周長最小．

【解析】

試題分析：1）∵

∴

（2） ①3

②以最短邊為邊所畫的長方形周長最小．

理由如下：設的面積為，三個長方形的周長分別為，，，易得三個長方形的面積相等，均為，，，，

則．

∵，∴，∴．

∵，∴，于是，∴，即．

同理．

所以．

拓展延伸：

邊上的內接正方形面積最大．

理由：設邊上的內接正方形邊長為．

由∽，得，解得．

由上題得最小，且（定值）

∴此時為最大．

∴邊上的內接正方形面積最大．

考點：幾何面積

點評：本題難度較大，主要考查學生是否能夠結合類比應用所給示例歸納規律解題。