Question

【題目】畢達哥拉斯學派對”數”與”形”的巧妙結合作了如下研究：

名稱及圖形 幾何點數 層數	三角形數	正方形數	五邊形數	六邊形數
第一層幾何點數	1	1	1	1
第二層幾何點數	2	3	4	5
第三層幾何點數	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六層幾何點數
…	…	…	…	…
第n層幾何點數

請寫出第六層各個圖形的幾何點數，并歸納出第n層各個圖形的幾何點數．

Answer 1

【答案】6；11；16；21；；2n﹣1；3n﹣2；4n﹣3
【解析】解：∵前三層三角形的幾何點數分別是1、2、3，
∴第六層的幾何點數是6，第n層的幾何點數是n；
∵前三層正方形的幾何點數分別是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，
∴第六層的幾何點數是：2×6﹣1=11，第n層的幾何點數是2n﹣1；
∵前三層五邊形的幾何點數分別是：1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，
∴第六層的幾何點數是：3×6﹣2=16，第n層的幾何點數是3n﹣2；
前三層六邊形的幾何點數分別是：1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，
∴第六層的幾何點數是：4×6﹣3=21，第n層的幾何點數是4n﹣3．

名稱及圖形 幾何點數 層數	三角形數	正方形數	五邊形數	六邊形數
第一層幾何點數	1	1	1	1
第二層幾何點數	2	3	4	5
第三層幾何點數	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六層幾何點數	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n層幾何點數	n	2n﹣1	3n﹣2	4n﹣3

故答案為：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．
首先看三角形數，根據前三層的幾何點數分別是1、2、3，可知第六層的幾何點數是6，第n層的幾何點數是n；然后看正方形數，根據前三層的幾何點數分別是1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，可知第六層的幾何點數是2×6-1=11，可知第n層的幾何點數是2n-1；再看五邊形數，根據前三層的幾何點數分別是1=3×1-2，4=3×2-1，7=3×3-2，可知第六層的幾何點數是3×6-2=16，可知第n層的幾何點數是3n-2；最后看六邊形數，根據前三層的幾何點數分別是1=4×1-3，5=4×2-3，9=4×3-3，可知第六層的幾何點數是4×6-3=21，可知第n層的幾何點數是4n-3；據此解答即可．