Question

（2004•豐臺區）已知：把矩形AOBC放入直角坐標系xOy中，使OB、OA分別落在x軸、y軸上，點A的坐標為（0，2），連接AB，∠OAB=60°，將△ABC沿AB翻折，使C點落在該坐標平面內的D點處，AD交x軸于點E．
（1）求D點坐標；
（2）求經過點A、D的直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，可分兩種情況：
第一種情況矩形在第一象限．
（1）根據Rt△ACB≌Rt△ADB，過點D作y軸的垂線，垂足為F，∠OAB=60°，∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°，可求DF=AD=3，利用三角函數可求AF=AD•cos30°=6×=3，則OF=AF-OA=3-2=，所以點D的坐標為（3，-）；
（2）設經過點A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，利用待定系數法可求經過點A、D的直線的解析式為y=-x+2；
第二種情況矩形在第二象限．
（1）由第一種情況，根據對稱性得，點D的坐標為（-3，-）；
（2）設經過點A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，
利用待定系數法可求經過點A、D的直線的解析式為y=x+2．
解答：解：根據題意，可分以下兩種情況：
第一種情況矩形在第一象限，如圖．
（1）OA=2，∠AOB=90°，∠OAB=60°，
∴OB=OA•tan60°=2•=6．
又Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴AC=AD=OB=6．
過點D作y軸的垂線，垂足為F，
∠OAB=60°，
∴∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°．
∴DF=AD=3．
AF=AD•cos30°=6×=3，
∴OF=AF-OA=3-2=．
∴點D的坐標為（3，-）．          
                                   （2分）
（2）設經過點A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，
，
解得．
∴經過點A、D的直線的解析式為y=-x+2．                             （4分）
第二種情況矩形在第二象限，（圖略）
（1）由第一種情況，根據對稱性得，點D的坐標為（-3，-）．             （5分）
（2）設經過點A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，
，
解得．
∴經過點A、D的直線的解析式為y=x+2．                               （7分）
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和全等三角形的性質來表示相應的線段之間的關系，求得對應點的坐標利用待定系數法求解析式．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．