Question

如圖，△OAB是邊長為2+

3

的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB 折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．
（1）當A′E∥x軸時，求點A′和E的坐標；
（2）當A′E∥x軸，且拋物線y=-

1

6

x2+bx+c經過點A′和E時，求拋物線與x軸的交點的坐標．

Answer 1

分析：（1）當A′E∥x軸時，△A′EO是直角三角形，可根據∠A′OE的度數用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+

3

，由此可求出OA′的長，也就能求出A′E的長．據此可求出A′和E的坐標；
（2）將A′，E點的坐標代入拋物線中，即可求出其解析式．進而可求出拋物線與x軸的交點坐標；

解答：解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
由A′E∥x軸，得△OA′E是直角三角形，
設A′的坐標為（0，b），
AE=A′E=

3

b，OE=2b，

3

b+2b=2+

3

，
所以b=1，
所以A′、E的坐標分別是（0，1）與（

3

，1）．

（2）因為A′、E在拋物線上，
所以

1=c 1=- 1 6 •( 3 )2+ 3 b+c

，
所以

c=1 b= 3 6

，
函數關系式為y=-

1

6

x²+

3

6

x+1，
令y=0得到：-

1

6

x²+

3

6

x+1=0，
解得：x₁=-

3

，x₂=2

3

，
與x軸的兩個交點坐標分別是（-

3

，0）與（2

3

，0）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、直角三角形的判定和性質等知識點，綜合性較強．