Question

【題目】如圖，⊙M與菱形ABCD在平面直角坐標系中，點M的坐標為（3，﹣1），點A的坐標為（﹣2，），點B的坐標為（﹣3，0），點C在x軸上，且點D在點A的左側．

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）若⊙M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移，同時菱形ABCD沿x軸向右以每秒3個單位長度的速度平移，設菱形移動的時間為t（秒），當⊙M與BC相切，且切點為BC的中點時，連接BD，求：

①t的值；

②∠MBD的度數；

（3）在（2）的條件下，當點M與BD所在的直線的距離為1時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=6﹣或6+．

【解析】分析：（1）根據勾股定理求菱形的邊長為2，所以可得周長為8；

（2）①如圖2，先根據坐標求EF的長，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t的值；

②先求∠EBA=60°，則∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）分兩種情況討論：作出距離MN和ME，第一種情況：如圖5由距離為1可知：BD為⊙M的切線，由BC是⊙M的切線，得∠MBE=30°，列式為3t+=2t+6，解出即可；

第二種情況：如圖6，同理可得t的值．

詳解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于E．

∵點A的坐標為（﹣2，），點B的坐標為（﹣3，0），∴AE=，BE=3﹣2=1，∴AB===2．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周長=2×4=8；

（2）①如圖2，⊙M與x軸的切點為F，BC的中點為E．

∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．

∵BC=2，且E為BC的中點，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；

②由（1）可知：BE=1，AE=，

∴tan∠EBA===，∴∠EBA=60°，如圖4，∴∠FBA=120°．

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠FBD=∠FBA==60°．

∵BC是⊙M的切線，∴MF⊥BC．

∵F是BC的中點，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，

∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）連接BM，過M作MN⊥BD，垂足為N，作ME⊥BC于E，分兩種情況：

第一種情況：如圖5．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．

∵點M與BD所在的直線的距離為1，∴MN=1，∴BD為⊙M的切線．

∵BC是⊙M的切線，∴∠MBE=30°．

∵ME=1，∴EB=，∴3t+=2t+6，t=6﹣；

第二種情況：如圖6．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．

∵點M與BD所在的直線的距離為1，∴MN=1，∴BD為⊙M的切線．

∵BC是⊙M的切線，∴∠MBE=60°．

∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=，EB==，

∴3t=2t+6+，t=6+；

綜上所述：當點M與BD所在的直線的距離為1時，t=6﹣或6+．