Question

（2013•豐臺區一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC邊上的動點，E是BC邊上的動點，AD=BC，CD=BE．

（1）如圖1，若點E與點C重合，連結BD，請寫出∠BDE的度數；
（2）若點E與點B、C不重合，連結AE、BD交于點F，請在圖2中補全圖形，并求出∠BFE的度數．

Answer 1

分析：（1）由CD=BE，∠ACB=90°就可以得出△BCD是等腰直角三角形，故可以得出∠BDE的度數；
（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，連接BG，則四邊形AEBG是平行四邊形．連接GD，證明Rt△BCD≌Rt△DAG，則GD=BD，△BGD是等腰直角三角形．就可以求出結論．

解答：解：（1）∵點E與點C重合，
∴BE=BC．
∵CD=BE，
∴CD=BC．
∵∠ACB=90°，
∴∠BDE=45°

（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，連接BG，GD，
∴∠GAD=90°．
∵∠ACB=90°．
∴BC⊥AC，∠GAD=∠ACB
∴AG∥BC，
∴四邊形AEBG是平行四邊形，
∴GB∥AE，
∴∠AFD=∠GBD．
在△GAD和△DCB中，

GA=DC ∠GAD=∠ACB AD=CB

，
∴△GAD≌△DCB（SAS），
∴GD=BD，∠GDA=∠DBC，
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠GDA+∠BDC=90°，
∴∠GDB=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠GBD=45°，
∴∠AFD=45°，
∴∠BFE=45°．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時添加合適的輔助線是難點，證明△BGD是等腰直角三角形是關鍵．