Question

【題目】如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上。OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點B1按順時針方向旋轉120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經過上述兩次旋轉到達O2處）。小慧還發現：三角形紙片在上述兩次旋轉的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和。

小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉90°，…。按上述方法經過若干次旋轉后，她提出了如下問題：

問題①：若正方形紙片OABC按上述方法經過3次旋轉，求頂點O經過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經過5次旋轉，求頂點O經過的路程；

問題②：正方形紙片OABC按上述方法經過多少次旋轉，頂點O經過的路程是？

Answer 1

【答案】(1) (2) 81次

【解析】整體分析：

①正方形紙片OABC經過3次旋轉，旋轉中心分別為點A，B，C，半徑分別為1， ，1；頂點O在此過程中經過的圖形與直線l2圍成的圖形有2個半徑為1的扇形，1個半徑為的扇形和2個直角邊長為1的等腰直角三角形；正方形紙片OABC經過5次旋轉，頂點O在此過程中經過3段半徑為1的弧和1段半徑為的弧；②正方形經過四次旋轉為一個周期，計算出正方形經過四次旋轉時點O經過的路程與作比較即可求解.

①如圖，正方形紙片OABC經過3次旋轉，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧；

∴頂點O在此過程中經過的路程為： ，

頂點O在此過程中經過的圖形與直線l2圍成的圖形面積為： 。

正方形紙片OABC經過5次旋轉，頂點O在此過程中經過的路程為： ，

②正方形紙片OABC經過3次旋轉，頂點O在此過程中經過的路程為： ，

根據第四次正方形旋轉時O點不動，也就是此時也是正方形紙片OABC經過4次旋轉的路程為

又∵，

∴正方形紙片OABC經過了20×4+1=81次旋轉.