Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=2，sinB=，過點C在∠BCD的內部作射線交射線BA于點E，使得∠DCE=∠B．

（1）如圖1，當ABCD為等腰梯形時，求AB的長；

（2）當點E與點A重合時（如圖2），求AB的長；

（3）當△BCE為直角三角形時，求AB的長．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）作AM∥DC交BC于點M，AH⊥BC于點H，AD=1，BC=2，sinB=，得到AM=AB，BH=HM=，結合三角函數的定義可以求得AB的長．

（2））由AD∥BC得到∠DAC=∠ACB，又∵∠DCE=∠B，∴△ADC∽△CAB，得到AC2=AD•BC，求得AC的長度，結合勾股定理，即可構造出關于AB的方程，解方程即可求得相應的AB的長度．

（3）分兩種情況來討論：如圖3-1，當BE⊥CE時，∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，作AH⊥BC，則HC=AD=1，∴BH=BC-HC=2-1=1，由sinB即可求得cosB的值，繼而求得AB的長度；如圖3-2，當BC⊥CE時，延長DA交CE的延長線于點F，由△FDC∽△CEB，可以得到AE的長度，繼而求得AB的長度．

試題解析：（1）如圖1，作AM∥DC交BC于點M，作AH⊥BC于點H，

∵AD∥BC，∴AMCD為平行四邊形，

∴AM=DC，MC=AD=1，

∴BM=BC-MC=2-1=1，

∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴AB=DC，∴AB=AM，∴BH=HM=

在直角三角形ABH中，

∵sinB=，

∴cosB=，∵，∴．

（2）如圖2，∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

又∵∠DCE=∠B，

∴△ADC∽△CAB，

∴，

∴AC2=AD•BC=2，

作AF⊥BC于點F，

設AB=x，∵sinB=，

∴AF=，BF=，

∴CF=2-，

在直角三角形AFC中，AF2+CF2=AC2，即：，

∴，

即當點A與點E重合時，AB=，或者AB=．

（3）∵△BCE為直角三角形，

∴BE⊥CE或BC⊥CE，

情況一，當BE⊥CE時，如圖3-1，

∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，

∴∠DCE+∠BCE=90°，

作AH⊥BC，則HC=AD=1，

∴BH=BC-HC=2-1=1，

又由sinB=可得，cosB=，

解得：AB=．

情況二，當BC⊥CE時，如圖3-2，

延長DA交CE的延長線于點F，設AE=a，則AF=，EF=，

在直角三角形BCE中，

∵BC=2，sinB=，

∴BE=，EC=，

∵AD∥BC，BC⊥CE，

∴AD⊥EC，

又∵∠DCE=∠B，

∴△FDC∽△CEB，

∴，即DC·BC=FC·CE，

∴，

∴．

∴

∴當△BCE為直角三角形時，AB=或AB=．

考點：相似形綜合題．