Question

【題目】已知拋物線C1：y＝ax2﹣4ax﹣5的開口向上．

（1）當a＝1時，求拋物線與x軸的交點坐標；

（2）試說明拋物線C1一定經過兩個定點，并求出這兩個定點的坐標；

（3）將拋物線C1沿（2）所求的兩個定點所在直線翻折，得到拋物線C2，

①寫出拋物線C2的表達式；

②當拋物線C2的頂點到x軸的距離為2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0）或（5，0）；（2）拋物線C1一定經過兩個定點（0，﹣5），（4，﹣5）；（3）①拋物線C2解析式為y＝﹣ax2+4ax﹣5，②a＝或．

【解析】

（1）將a＝1代入函數解析式，即可求出函數的解析式，然后令y=0，求出x的值即可解決.

（2）將解析式化成兩部分，一部分為常數項，另一部分進行因式分解寫成幾個因式相乘的形式，觀察解析式的特征，即可解決問題.

（3）①根據翻折的性質，拋物線開口方向相反，但對稱軸沒有發生變化，根據此可以得到拋物線C2解析式為：y＝﹣ax2+4ax﹣5，②根據二次函數的性質，可知y=2或y=-2，對稱軸未發生變化，x=2，將兩者分別代入，求出a的值即可.

（1）當a＝1時，拋物線解析式為y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，

∴對稱軸為x＝2；

∴當y＝0時，x﹣2＝3或﹣3，即x＝﹣1或5；

∴拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0）或（5，0）；

（2）拋物線C1解析式為：y＝ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y＝ax（x﹣4）﹣5；

∵當ax（x﹣4）＝0時，y恒定為﹣5；

∴拋物線C1一定經過兩個定點（0，﹣5），（4，﹣5）；

（3）①這兩個點連線為y＝﹣5；

將拋物線C1沿y＝﹣5翻折，得到拋物線C2，開口方向變了，但是對稱軸沒變；

∴拋物線C2解析式為：y＝﹣ax2+4ax﹣5，

②拋物線C2的頂點到x軸的距離為2，

則x＝2時，y＝2或者﹣2；

當y＝2時，2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a＝；

當y＝﹣2時，﹣2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a＝；

∴a＝或．