Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，B，與x軸分別交于點E，F(xiàn)，且點E的坐標為（，0），以OC為直徑作半圓，圓心為D．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：直線BE是⊙D的切線；
（3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MN∥BE交x軸與點N，連結PM，PN，設CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，∴A（0，2），B（2，2）。
又∵E的坐標為（，0），
∴，解得，。
∴該二次函數(shù)的解析式為：。
（2）如圖，過點D作DG⊥BE于點G，

由題意，得，
∴。
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB。
∴，即。∴DG=1。
∵⊙D的半徑是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切線。
（3）由題意，得E（，0），B（2，2）．

設直線BE為y=kx+h，則
，解得，。
∴直線BE為：。
∵直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，對稱軸直線為x=1，
∴點P的縱坐標，即P（1，）。
∵MN∥BE，∴∠MNC=∠BEC。
∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC。∴，即。∴。
∴。
∴，，
。
∵（0＜t＜2）。
∵拋物線（0＜t＜2）的開口方向向下，
∴S存在最大值，當t=1時，S_最大=。

（1）根據(jù)題意易得點A、B的坐標，然后把點A、B、E的坐標分別代入二次函數(shù)解析式，列出關于a、b、c的方程組，利用三元一次方程組來求得系數(shù)的值。
（2）如圖，過點D作DG⊥BE于點G，構建相似三角形△EGD∽△ECB，根據(jù)它的對應邊成比例得到，由此求得DG=1（圓的半徑是1），則易證得結論。
（3）利用待定系數(shù)法求得直線BE為：，則易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的對應邊成比例，線段間的和差關系得到，．所以由即可求得（0＜t＜2），由拋物線的性質(zhì)可以求得S的最值。