Question

【題目】如圖，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結EF．
（1）證明：EF=CF；
（2）當 時，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵正方形ABGD，

又∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC，

且AD=GD，

在△ADE與△GDC中，

，

∴△ADE≌△GDC（ASA）．

∴DE=DC，且AE=GC．

在△EDF和△CDF中，

，

∴△EDF≌△CDF（SAS）．

∴EF=CF

（2）解：∵ ，

∴AE=GC=2．

設EF=x，則BF=8﹣CF=8﹣x，BE=6﹣2=4．

由勾股定理，得x2=（8﹣x）2+42．

解之，得x=5，

即EF=5

【解析】（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質證明即可；（2）設EF=x，根據勾股定理解答即可．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．