Question

【題目】已知一次函數的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，且與反比例函數的圖象在第一象限交于點C（4，n），CD⊥x軸于D．

（1）求m、n的值，并在給定的直角坐標系中作出一次函數的圖象；

（2）如果點P、Q分別從A、C兩點同時出發，以相同的速度沿線段AD、CA向D、A運動，設AP=k．

①k為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？

②k為何值時，△APQ的面積取得最大值并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）m=3，n=6，圖像見解析；（2）見解析

【解析】

試題（1）首先根據反比例函數的解析式求得n的值，再根據點C的坐標求得m的值．根據直線與坐標軸的交點坐標準確畫出函數的圖象；

（2）①已知△AOB是直角三角形，要使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似，則∠APQ=90°或∠AQP=90°．根據題意表示對應的兩條邊，再根據相似三角形的對應邊的比相等列方程求解；②首先根據相似三角形的對應邊的比相等表示出AP邊上的高，再進一步表示三角形的面積，根據函數解析式分析其最值．

解：（1）把（4，n）代入反比例函數，得：n=6

把（4，6）代入一次函數y=x+m，得：m=3

∴y=x+3．

令x=0，則y=3；令y=0，則x=﹣4．（如圖）

（2）①根據題意，得AP=CQ=k，根據勾股定理，得AC=10，則AQ=10﹣k

當∠APQ=90°時，則有，即，k=；

當∠AQP=90°時，則有，即，k=．

②作QM⊥x軸于M，則△AQM∽△ACD，

則有，即，QM=．

則S△APQ=××k=﹣k2+3k

所以當k=5時，則該三角形的面積的最大值是7.5．