Question

【題目】已知：如圖，⊙O的兩條半徑OA⊥OB，C，D是的三等分點，OC，OD分別與AB相交于點E，F．

求證：CD＝AE＝BF．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

連接AC、BD，由C，D是的三等分點，可得AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，利用SAS可證明△AOC≌△COD，即可得出∠ACO=∠OCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OEF＝∠OCD，可證明CD//AB，可得∠AEC＝∠OCD，即可證明∠ACO＝∠AEC．可得AC=AE，同理可證BD=BF，進而可證明CD＝AE＝BF．

連接AC、BD，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵C，D是的三等分點，

∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，

∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，

∴△AOC≌△COD，

∴∠ACO=∠OCD，

∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD==75°，

∴∠OEF＝∠OCD，

∴CD∥AB，

∴∠AEC＝∠OCD，

∴∠ACO＝∠AEC．

故AC＝AE，

同理，BF＝BD．

又∵AC＝CD＝BD

∴CD＝AE＝BF．