Question

【題目】為了全面推進素質教育，增強學生體質，豐富校園文化生活，高新區某校將舉行春季特色運動會，需購買A，B兩種獎品.經市場調查，若購買A種獎品3件和B種獎品2件，共需60元；若購買A種獎品1件和B種獎品3件，共需55元．

(1)求A、B兩種獎品的單價各是多少元；

(2)運動會組委會計劃購買A、B兩種獎品共100件，購買費用不超過1160元，且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍，運動會組委會共有幾種購買方案？

(3)在第(2)問的條件下，設計出購買獎品總費用最少的方案,并求出最小總費用.

Answer 1

【答案】（1）A獎品的單價是10元/件，B獎品的單價是15元/件；（2）共有8種購買方案；（3）購買總費用最少的方案是購買A獎品75件、B獎品25件，最小費用為1125元．

【解析】

（1）設A獎品的單價是x元/件，B獎品的單價是y元/件，根據“若購買A種獎品3件和B種獎品2件，共需60元；若購買A種獎品1件和B種獎品3件，共需55元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購買A種獎品m件，購買總費用W元，則購買B種獎品（100-m）件，根據總價=單價×購買數量，即可得出W關于m的函數關系式，再根據購買費用不超過1160元且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍，可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，即可求出購買方案；

（3）在（2）的基礎上，利用一次函數的增減性質即可解決最值問題．

解：（1）設A獎品的單價是x元/件，B獎品的單價是y元/件，
根據題意，得：

解得：

答：A獎品的單價是10元/件，B獎品的單價是15元/件．
（2）設購買A種獎品m件，購買總費用W元，則購買B種獎品（100-m）件，
根據題意，得：W=10m+15（100-m）=-5m+1500．
∵購買費用不超過1160元，且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍，

∴

解得：68≤m≤75，
∴W=-5m+1500（68≤m≤75）．

∵m為正整數，∴m=68、69、70、71、72、73、74、75，即共有8種購買方案；

（3）由（2）得：W=-5m+1500（68≤m≤75）．

∵k=-5＜0，
∴W隨m的增大而減小，
∴當m=75時，W取最小值，最小值=-5×75+1500=1125，此時100-m=100-75=25．
答：購買總費用最少的方案是購買A獎品75件、B獎品25件，最小費用為1125元．