Question

【題目】如圖①A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD．

（1）如圖①中有　　對全等三角形，并把它們寫出來　　；

（2）求證：BD與EF互相平分于G；

（3）若將△ABF的邊AF沿GA方向移動變為如圖②時，其余條件不變，第（2）題中的結論是否成立，如果成立，請予證明．

Answer 1

【答案】（1）有3對全等三角形,它們是△AFB≌△DEC,△DEG≌△BFG,△AGB≌△CGD；（2）見解析；（3）成立，理由見解析；

【解析】

（1）利用A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD可判斷全等三角形的個數．

（2）先根據DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可．

（3）先根據DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CED，再求證△BFG≌△DEG，即可得出結論．

(1)圖①中有3對全等三角形,它們是△AFB≌△DEC,△DEG≌△BFG,△AGB≌△CGD.

理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中,，

∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL)，

∴ED=BF.

由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，

∴∠EDG=∠GBF，

∵∠EGD和∠FGB是對頂角，ED=BF，

∴△DEG≌△BFG，

∴EG=FG，DG=BG，

∵∠AGB=∠CGD，

∴△AGB≌△CGD；

(2)∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL)，

∴ED=BF.

由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，

∴∠EDG=∠GBF，

∵∠EGD和∠FGB是對頂角，ED=BF，

△DEG≌△BFG，

∴EG=FG，DG=BG，

所以BD與EF互相平分于G；

(3)第(2)題中的結論成立，

理由：∵AE=CF，

∴AEEF=CFEF，即AF=CE，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL)，

∴BF=ED.

∵∠BFG=∠DEG=90°，

∴BF∥ED，

∴∠FBG=∠EDG，

∴△BFG≌△DEG，

∴FG=GE，BG=GD，

即第(2)題中的結論仍然成立.