Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，PF∥BC交AB于F，連接PQ交AB于D．

（1）當(dāng)∠BQD=30°時，求AP的長；

（2）當(dāng)運動過程中線段ED的長始終保持不變，試求出ED的長度．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；

（2）作QG⊥AB，交直線AB于點G，連接QE，PG，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQG，再由AE=BG，PE=QG且PE∥QG，可知四邊形PEQG是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BG=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長為6，可得出DE=3．

試題解析：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）作QG⊥AB，交直線AB于點G，連接QE，PG，又∵PE⊥AB于E，∴∠DGQ=∠AEP=90°，∵點P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠GBQ=60°，在△APE和△BQG中，∵∠AEP=∠BGQ=90°，，∴△APE≌△BQG（AAS），∴AE=BG，PE=QG且PE∥QG，∴四邊形PEQG是平行四邊形，∴DE=EG，∵EB+AE=BE+BG=AB=EG，∴DE=AB，又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE=3，故運動過程中線段ED的長始終為3．