Question

【閱讀理解】
已知：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分線，交BC邊于點D．求證：AC=AB+BD證明：如圖1，在AC上截取AE=AB，連接DE，則由已知條件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）
∴∠AED=∠B=90°，DE=DB
又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．
∴DE=EC．
∴AC=AE+EC=AB+BD．
【解決問題】
已知，如圖2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分線，交BC邊于點D，DE⊥AC，垂足為E，若AB=2，則三角形DEC的周長為________．
【數學思考】：現將原題中的“AD是內角平分線，交BC邊于點D”換成“AD是外角平分線，交BC邊的延長線于點D如圖3”，其他條件不變，請你猜想線段AC、AB、BD之間的數量關系，并證明你的猜想．
【類比猜想】
任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分線，交CB邊的延長線于點D，如圖4，請你寫出線段AC、AB、BD之間的數量關系．

Answer 1

2
分析：解決問題：由角平分線的性質及勾股定理就可以得出AE=AB，進而求出CE，由BD=CE就可以求出結論；
數學思考：在CA的延長線上截取AE=AB，連接DE，由角平分線的性質就可以得出△EAD≌△BAD，得出∠AED=∠ABD=90°，DB=DE，就可以得出DB=AB+AC；
類比猜想：在CA的延長線上取一點E，使AE=AB，連接DE，由角平分線的性質就可以得出△AED≌△ABD，就可以得出DE=DB，∠AED=∠ABD，就可以得出∠DEF=∠ABC，就可以得出∠EDC=∠C，進而得出結論．
解答：解決問題∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠BAD=∠CAD，∠AED=∠B=90°，DB=DE．
在Rt△ABD和RtAED中，
，
∴Rt△ABD≌RtAED（HL），
∴AB=AE．
∵AB=CB，
∴AE=CB．
∵△CDE的周長為=CD+CE+DE，
∴△CDE的周長為=CD+DB+CE=BC+CE=AE+CE=AC．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=2．
故答案為：；
數學思考：
如圖3，在CA的延長線上截取AE=AB，連接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE，
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠C=45°，∠ABD=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC；
【類比猜想】BD=AB+AC．
理由：在CA的延長線上取一點E，使AE=AB，連接DE，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE．
∵∠AED+∠FED=180°，∠ABD+ABC=180°，
∴∠FED=∠ABC．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠FED=2∠C．
∵∠FED=∠EDC+∠C，
∴2∠C=∠EDC+∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，角平分線的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．