Question

【題目】我們學習了“圓心角、弧、弦的關系”，實際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系”如下：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距(弦心距指從圓心到弦的距離，如圖1中的OC、OC′，弦心距也可以說成圓心到弦的垂線段的長度)中有一組量相等，那么它們對應的其余各組量也相等．請直接運用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系解答下列問題：

如圖2，O是∠EPF的平分線上一點，以點O為圓心的圓與角的兩邊分別交于點A、B、C、D.

(1)求證：AB＝CD；

(2)若角的頂點P在圓上，上述結論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）上述結論成立．

【解析】試題分析：（1）過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根據角平分線性質得出ON=OM，再根據題中定義即可得出答案；（2）方法同（1）．

解：(1)過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，則∠OMB＝∠OND＝90°.

又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.

∵OM、ON分別是弦AB、CD的弦心距，

∴AB＝CD.

(2)上述結論成立．

當點P在⊙O上時，由(1)知OM＝ON，

∵OM、ON分別是弦PB、PD的弦心距，

∴PB＝PD，即AB＝CD.