Question

【題目】平面上有兩條直線AB、CD相交于點O，且∠BOD=150°（如圖），現按如下要求規定此平面上點的“距離坐標”： ①點O的“距離坐標”為（0，0）；
②在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p＞0）的點的“距離坐標”為（p，0）；在直線AB上，且到直線CD的距離為q（q＞0）的點的“距離坐標”為（0，q）；
③到直線AB、CD的距離分別為p，q（p＞0，q＞0）的點的“距離坐標”為（p，q）．
設M為此平面上的點，其“距離坐標”為（m，n），根據上述對點的“距離坐標”的規定，解決下列問題：
（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）： ①滿足m=1，且n=0的點M的集合；
②滿足m=n的點M的集合；
（2）若點M在過點O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關系式．（說明：圖中OI長為一個單位長）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖所示：

點M1和M2為所求；

②如圖所示：

直線MN和直線EF為所求

（2）解：如圖：

過M作MN⊥AB于N，

∵M的“距離坐標”為（m，n），

∴OM=n，MN=m，

∵∠BOD=150°，直線l⊥CD，

∴∠MON=150°﹣90°=60°，

在Rt△MON中，sin60°= = = ，

即m與n所滿足的關系式是：m= n

【解析】（1）①以O為圓心，以2為半徑作圓，交CD于兩點，則此兩點為所求；②分別作∠BOC和∠BOD的角平分線并且反向延長，即可求出答案；（2）過M作MN⊥AB于N，根據已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根據銳角三角函數得出sin60°= = ，求出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解角平分線的性質定理(定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上)，還要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵．