Question

【題目】（題型一）請(qǐng)你參與下面的探究過(guò)程，完成所提出的問(wèn)題.

（1）探究1：如圖11-3-3（1），P是△ ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點(diǎn)，若∠A=70°，求∠BPC度數(shù).

（2）探究2：如圖11-3-3（2），P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點(diǎn)，求∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點(diǎn)，設(shè)∠A+∠D=α.

①直接寫(xiě)出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系；

②根據(jù)α值的情況，判斷△BPC的形狀.（按角分類(lèi)）

（1） （2） （3）

Answer 1

【答案】（1）∠BPC=125°；

（2）∠BPC=90°-∠A.理由見(jiàn)解析；

（3）當(dāng)0°<α<180°時(shí)，△BPC是鈍角三角形;當(dāng)α=180°時(shí)，△BPC是直角三角形;當(dāng)α>180°時(shí)，△BPC是銳角三角形.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠PBC+∠BCP的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠PCE=∠BCE，∠PBD=∠CBD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；

（3）①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（2）解答即可；②根據(jù)α的值的情況，得到∠P的取值范圍，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.

∵BP，CP分別是∠ABC，∠ACB的平分線，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，

∴∠PBC+∠BCP=1/2（∠ABC+∠ACB）=55°.

∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，

∴∠BPC=125°.

（2）∠BPC=90°-∠A.

理由：∵BP，CP分別是外角∠DBC，∠ECB的平分線，

∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）.

在△PBC中，∠BPC=180°-（180°+∠A）=90°-∠A.

（3）如圖，

①延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)Q，

由（2）可知，∠BPC=90°-∠Q，

∴∠Q=180°-2∠BPC，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°-2∠BPC=360°-2∠BPC.

∴∠BPC=180°-α.

②當(dāng)0°<α<180°時(shí)，△BPC是鈍角三角形;

當(dāng)α=180°時(shí)，△BPC是直角三角形;

當(dāng)α>180°時(shí)，△BPC是銳角三角形.