Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于點O，E為AC上一點，且AE＝OC.

(1)求證:AP＝AO;

(2)求證:PE⊥AO.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據等角的余角相等證明即可；
（2）過點O作OD⊥AB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CO=DO，利用“SAS”證明△APE和△OAD全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，從而得證．

（1）證明：∵∠C=90°，∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO；
（2）證明：如圖，過點O作OD⊥AB于D，

∵∠CBO=∠ABP，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，

，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO．