Question

21、如圖，以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的圓O分別交兩腰于D、E，求證：（1）AD=AE；（2）若D是AB中點，則△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）首先連接BE、CD，即可得△ABC是等腰三角形，又由BC是⊙O直徑，易證得△BDC≌△CEB，即可證得AD=AE；
（2）若D是AB中點，由CD⊥AB，DE⊥AC，可證得△BCD≌△CDA，可得BC=CA，又由AB=AC，即可得△ABC是等邊三角形．

解答：證明：（1）連接BE、CD，
∵三角形ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC，…（1分）
∵BC是⊙O直徑，
∴∠BDC=∠CEB=Rt∠，…（2分）
∴△BDC≌△CEB，…（3分）
∴BD=CE，…（4分）
∴AD=AE；…（5分）

（2）若D是AB中點，
∵CD⊥AB，DE⊥AC，…（6分）
∴∠BCD=∠ACD，…（7分）
∴△BCD≌△CDA，…（8分）
∴BC=CA，…（9分）
而AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形．…（10分）

點評：此題考查了圓周角的性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．