Question

在一次數學興趣小組的活動課上，有下面的一段對話，請你閱讀完后再解答問題．
老師：同學們，今天我們來探索如下方程的解法：(

x

x-1

)2-4(

x

x-1

)+4=0．
學生甲：老師，原方程可整理為

x2

(x-1)2

-

4x

x-1

+4=0，再去分母，行得通嗎？
老師：很好，當然可以這樣做．
再仔細觀察，看看這個方程有什么特點？還可以怎樣解答？
學生乙：老師，我發現

x

x-1

是整體出現的！
老師：很好，我們把

x

x-1

看成一個整體，用y表示，即可設

x

x-1

=y，那么原方程就變為y²-4y+4=0．
全體學生：噢，等號左邊是一個完全平方式？！方程可以變形成（y-2）²=0
老師：大家真會觀察和思考，太棒了！顯然y²-4y+4=0的根是y=2，那么就有

x

x-1

=2
學生丙：對啦，再解這兩個方程，可得原方程的根x=2，再驗根就可以了！
老師：同學們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉化方法．
全體同學：OK，換元法真神奇！
現在，請你用換元法解下列分式方程（組）：
（1）(

2x

x-1

)2-

4x

x-1

+1=0
（2）

6 x-y + 4 x+y =3 9 x-y - 1 x+y =1

．

Answer 1

分析：（1）設

2x

x-1

=y，方程化為關于y的方程，求出方程的解得到y的值，即為

2x

x-1

的值，求出x的值，檢驗即可；
（2）設

1

x-y

=u，

1

x+y

=v，方程組化為關于u與v的方程組，求出方程組的解得到u與v的值，即為

1

x-y

與

1

x+y

的值，進而求出x與y的值，檢驗即可．

解答：（1）解：設

2x

x-1

=y，則原方程變形為：y²-2y+1=0，即（y-1）²=0，
解得：y=1，即

2x

x-1

=1，即2x=x-1，
解得：x=-1，
經檢驗：x=-1是原方程的解；

（2）解：設

1

x-y

=u，

1

x+y

=v，
則原方程組化為：

6u+4v=3 9u-v=1

，
解得：

u= 1 6 v= 1 2

，即

1 x-y = 1 6 1 x+y = 1 2

，
整理得：

x+y=2 x-y=6

，
解得：

x=4 y=-2

，
經檢驗，

x=4 y=-2

是原方程組的解．

點評：此題考查了利用換元法解分式方程，用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據方程特點設出相應未知數，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．