Question

【題目】已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分線，且 AD=AB，過點 C 作 AD 的垂線，交 AD 的延長線于點 H．

（1）如圖 1，若∠BAC=60°．

①直接寫出∠B 和∠ACB 的度數；

②若 AB=2，求 AC 和 AH 的長；

（2）如圖 2，用等式表示線段 AH 與 AB+AC 之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①45°，②；（2）線段 AH 與 AB+AC 之間的數量關系：2AH=AB+AC．證明見解析.

【解析】

（1）①先根據角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD=30°，由等腰三角形的性質得∠B=75°，最后利用三角形內角和可得∠ACB=45°；②如圖 1，作高線 DE，在 Rt△ADE 中，由∠DAC=30°，AB=AD=2 可得 DE=1，AE=， 在 Rt△CDE 中，由∠ACD=45°，DE=1，可得 EC=1，AC= +1，同理可得 AH 的長；（2）如圖 2，延長 AB 和 CH 交于點 F，取 BF 的中點 G，連接 GH，易證△ACH≌△AFH，則 AC=AF，HC=HF， 根據平行線的性質和等腰三角形的性質可得AG=AH，再由線段的和可得結論．

（1）①∵AD 平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵AB=AD，

∴∠B==75°，

∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°；

②如圖 1，過 D 作 DE⊥AC 交 AC 于點 E，

在 Rt△ADE 中，∵∠DAC=30°，AB=AD=2，

∴DE=1，AE=，

在 Rt△CDE 中，∵∠ACD=45°，DE=1，

∴EC=1，

∴AC=+1，

在 Rt△ACH 中，∵∠DAC=30°，

∴CH=AC=

∴AH===；

（2）線段 AH 與 AB+AC 之間的數量關系：2AH=AB+AC．

證明：如圖 2，延長 AB 和 CH 交于點 F，取 BF 的中點 G，連接 GH．

易證△ACH≌△AFH，

∴AC=AF，HC=HF，

∴GH∥BC，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠AGH=∠AHG，

∴AG=AH，

∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2（AB+BG）=2AG=2AH．