Question

【題目】如圖，ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，∠ＡＢＣ＝３０°，ＥＤ⊥ＡＢ于點Ｆ，ＣＤ切⊙Ｏ于點Ｃ，交ＥＦ于點Ｄ．

（１）∠Ｅ＝　　　　°；

（２）△ＤＣＥ是什么特殊三角形？請說明理由；

（３）當⊙Ｏ的半徑為１，ＢＦ＝時，求證△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．

Answer 1

【答案】（１）３０°； （２）△ＤＣＥ為等腰三角形； 理由見解析；（３）證明見解析

【解析】【試題分析】（１）ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，則

,因為∠ＡＢＣ＝３０°，則 ,因為ＥＤ⊥ＡＢ，則∠E=30°

（2）△ＤＣＥ為等腰三角形．理由：∠1=３０°，根據同角的余角相等，得∠2=30°=∠E

得△ＤＣＥ為等腰三角形.

（3）由（2）得△ＤＣＥ∽△ＯＣＢ，在Ｒt△ＡＢＣ中， 求得ＢＣ＝＝． ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝２－＝，在Ｒt△ＡＥＦ中，

則ＡＥ＝２ＡＦ＝１＋，ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ＝１＋－１＝．

ＣＥ＝ＢＣ＝，△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ得證。

【試題解析】

（１）ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，則

,因為∠ＡＢＣ＝３０°，則 ,因為ＥＤ⊥ＡＢ，則∠E=30°

（２）△ＤＣＥ為等腰三角形．

∵ＣＤ是⊙Ｏ的切線，∴∠ＯＣＤ＝９０°．

即∠１＋∠３＝９０°（如圖）．

∵ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，∴∠ＡＣＢ＝９０°，

∴∠ＥＣＢ＝９０°，即∠２＋∠３＝９０°，

∴∠１＝∠２．∵∠Ｂ＝３０°，∴∠Ａ＝６０°；

∵ＯＣ＝ＯＢ，∴∠１＝∠Ｂ＝３０°，∴∠２＝３０°．

∵ＥＤ⊥ＡＢ于點Ｆ，∴∠Ｅ＝９０°－∠Ａ＝３０°，

∴∠Ｅ＝∠２，故△ＤＣＥ的等腰三角形；

（３）證明：在Ｒt△ＡＢＣ中，∵∠Ｂ＝３０°，

∴ＡＣ＝ＡＢ＝×２＝１．

∴ＢＣ＝＝．

ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝２－＝

在Ｒt△ＡＥＦ中，∵∠Ｅ＝３０°，

∴ＡＥ＝２ＡＦ＝１＋，

∴ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ＝１＋－１＝．在△ＤＣＥ和△ＯＣＢ中，

∵∠Ｅ＝∠２＝∠Ｂ＝∠１＝３０°，ＣＥ＝ＢＣ＝，∴△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．