Question

【題目】如圖1，在矩形中，，點是線段上的一個動點，以點為圓心，為半徑作，連接.

（1）當經過的中點時，的長為_ ；

（2）當平分時，判斷與的位置關系.說明理由，并求出的長；

（3）如圖2，當與交于兩點，且時，求點到的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）與相切，理由見解析，的長為；（3）．

【解析】

（1）根據經過的中點，得到PC=2PD，再利用勾股定理即可求出PC的值；

（2）根據角平分線的性質即可得到與相切，根據銳角三角形函數的定義得到，在中，表達出，列出方程即可求出PD的值；

（3）如圖2，過點作于，連接，由（2）可知，表達出AP，PH，利用垂徑定理即可求出PD和PH．

解：（1）∵當經過的中點，

∴PC=2PD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，DC=AB=9，

∴在Rt△PCD中，PD2+DC2=PC2，

即，

解得：PD=，

∴PC=2PD=，

故答案為：．

∴sin∠PCD=，

（2）與相切，

理由如下：

如圖1，過點作于點．

平分，

，

與相切于點．

四邊形是矩形，

在中，，

，

設半徑為，

則，．

在中，

，即的長為．

（3）如圖2，過點作于，連接．由（2）可知：

在中，

設半徑為，

則．

在中，

在中，

(舍)．

，

，

即點到的距離為．