Question

【題目】已知如圖，AD∥BC，∠ABC=90o，AB=BC，點E是AB上的點，∠ECD=45o，連接ED，過D作DF⊥BC于F.

（1）若∠BEC=75o，FC=4，求梯形ABCD的周長。（4分）

（2）求證：ED=BE+FC.（6分）

Answer 1

【答案】（1）12+4 （2）通過證明△DEC≌△EGC（AAS），得ED=EG 從而得ED=BE+FC

【解析】

試題分析：

（1）∵∠ABC=90o，∠BEC=75o，

∴∠ECB=15o，∵∠ECD=45o，∴∠DCF=60o

在Rt△DFC中：∠DCF=60o，FC=4， ∴DF=4，DC=8

由題得，四邊形ABFD是矩形∴AB=DF=4，

∵AB=BC，∴BC=4，

∴BF=BC－FC=4－4，∴AD=BF=4－4

∴梯形ABCD的周長為：4+4+8+4－4=12+4

（2）延長EB至G，使BG=CF，連接CG

∵∠CBG=∠DFC=90o，DF=AB=BC ∴△CBG≌△DFC（SAS）

∴∠CDF=∠GCB，∵∠CDF+∠DCF=90o，∴∠GCB+∠DCF=90o

∵∠DCE=45o，∴∠ECG=45o

∴∠DCE=∠ECG ∴△DEC≌△EGC（AAS），∴ED=EG

∴ED=BE+FC