Question

【題目】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長(zhǎng)為2，腰長(zhǎng)為3，一個(gè)底角為60°．正△ABC的邊長(zhǎng)為1，它的一邊AC在MN上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動(dòng)．

（1）請(qǐng)?jiān)谒�給的圖中，畫(huà)出頂點(diǎn)A在正△ABC整個(gè)翻滾過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圖；

（2）求正△ABC在整個(gè)翻滾過(guò)程中頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

（3）求正△ABC在整個(gè)翻滾過(guò)程中頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

Answer 1

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)π；（3）π+．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中始終是以半徑為1的弧，據(jù)此畫(huà)出圓弧即可．

（2）根據(jù)翻滾路線(xiàn)結(jié)合弧長(zhǎng)公式求出即可；

（3）根據(jù)總結(jié)的翻轉(zhuǎn)角度和翻轉(zhuǎn)半徑，求出圓弧與梯形的邊長(zhǎng)圍成的扇形的面積即可．

解：（1）如圖所示：

（2）點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)：×4+=π；

（3）如圖所示：

根據(jù)正三角形邊長(zhǎng)為1，則高AD為：cos30°=，則AD=，

故面積為：×1×，

圍成的圖形的面積：3個(gè)圓心角為120°的扇形+2個(gè)正三角形的面積+一個(gè)半圓面積，

（根據(jù)要求正△ABC在整個(gè)翻滾過(guò)程中頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S，則最后一段弧沒(méi)有和PQ圍成閉合的圖形，故可以不求這部分面積）

所以點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：

×π×12+2×1×+3×=π+．