Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=112°.將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；
（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為多少？
（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解:解：平分

理由：延長NO到D

∵∠MON=90° ∴∠MOD=90°

∴∠MOB＋∠NOB=90° ∠MOC＋∠COD=90°

∵∠MOB=∠MOC ∴∠NOB=∠COD

∵∠NOB=∠AOD

∴ ∠COD=∠AOD
∴直線NO平分∠AOC

（2）解:t=59或14
（3）解:∠AOM－∠NOC=220

理由：∵∠AOM=90°－∠AON ∠NOC=68°－∠AON

∴∠AOM－∠NOC

=（90°－∠AON）－（68°－∠AON）

=22°

【解析】（1）利用平分線定義和等角的余角相等可證出結論;（2）須分類討論，ON在∠AOC的內部或外部；（3）∠AOM、∠NOC都用∠AON的式子表示，二者再相減，可得出結果.
【考點精析】關于本題考查的角的平分線和余角和補角的特征，需要了解從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關才能得出正確答案．