Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－1，0)，B(0，2)，點(diǎn)C在x軸上，且∠ABC＝90°.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；

(3)在(2)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PAC＝∠BCO？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）（2）y=；（3）（3，2），（5，-3）

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)C 的坐標(biāo)為（x，0），在直角三角形ABC中運(yùn)用勾股定理即可求出x的值，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)出二次函數(shù)關(guān)系式，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；

（3） 存在，利用正切值相等，分兩種情況列式計(jì)算即可.

試題解析：（1）設(shè)C（x，0）（x>0）

∴AC=x+1，BC=，AB=

∵∠ABC＝90°

∴AB2+BC2=AC2

∴5+x2+4=(x+1)2

解得：x=4

∴C（4,0）

(2)∵A(－1，0)，B(0，2)，C(4,0)

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-4)

把點(diǎn)B（0，2）代入上式得：a=

∴拋物線的解析式為：y= (x+1)(x-4)= x2+x+2;

(3)∵∠PAC=∠BCO

∴tan∠PAC=tan∠BCO

∴tan∠PAC=tan∠BCO=

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，y>0

∴tan∠PAC=

聯(lián)立

∴x2-2x-3=0

∵y>0

∴x=3

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，2）

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，y<0，x>0

∴tan∠PAC=

聯(lián)立

∴x2-4x-5=0

∵y<0

∴x=-5

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-5，3）

綜上可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）或（-5，3）.