Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0
（1）試判斷上述方程根的情況；
（2）若以上述方程的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值；
（3）已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，BC的長(zhǎng)為5．
①當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形?
②當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形?請(qǐng)求出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）；（3）①2或3；②k=3或4，周長(zhǎng)為14和16

試題分析：（1）先由題意求得根的判別式△的值，即可作出判斷；
（2）設(shè)方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的兩個(gè)根為，，根據(jù)題意得．又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；                      
（3）①由題意可得x₁="k" +1，x₂=k+2．不妨設(shè)AB=k+1，AC=k+2．再根據(jù)勾股定理即可列方程求解；                                       
②分AC=BC=5與AB=BC=5兩種情況，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）由方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0，得b²4ac=1，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的兩個(gè)根為，，根據(jù)題意得．
又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得， 
，                               
所以，當(dāng)k＝時(shí),m取得最小值；                      
（3）①x₁="k" +1，x₂=k+2．不妨設(shè)AB=k+1，AC=k+2．
斜邊BC=5時(shí)，有AB²+AC²=BC²，即(k+1)²+(k+2)²=25                                                   
解得k₁=2，k₂=5(舍去)                                
當(dāng)k="2" 時(shí)，△ABC是直角三角形；                         
②AB=k+1，AC=k+2，BC=5,  
由（1）知AB≠AC          
故有兩種情況：
（Ⅰ）當(dāng)AC=BC=5時(shí)，k+2=5，k=3．
∵5、5、4能組成三角形，
△ABC的周長(zhǎng)為5+5+k+1=14        
（Ⅱ）當(dāng)AB=BC=5時(shí)，k+1=5，k=4．
∵5、5、6能組成三角形，
△ABC的周長(zhǎng)為5+5+k+2=16．
故△ABC的周長(zhǎng)分別是14和16．
點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．