Question

【題目】如圖1，新定義：直線l1、l、l2 ， 相交于點O，長為m的線段AB在直線l2上，點P是直線l1上一點，點Q是直線l上一點．若∠AQB=2∠APB，則我們稱點P是點Q的伴侶點；
（1）如圖1，直線l2、l的夾角為30°，線段AB在點O右側，且OA=1，m=2，若要使得∠APB=45°且滿足點P是點Q的伴侶點，則OQ=

（2）如圖2，若直線l1、l2的夾角為60°，且m=3，若要使得∠APB=30°，線段AB在直線l2上左右移動．
①當OA的長為多少時，符合條件的伴侶點P有且只有一個？請說明理由；
②是否存在符合條件的伴侶點P有三個的情況？若存在，請直接寫出OA長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：①如圖2，

當直線l1與⊙C相切于點P，且A在O的右側時，

則∠APB=30°．

連接CP，過A作AD⊥l1于D．

則AD=CP=3，

∴OA= =2 ，

如圖3，

當直線l1與⊙C相切于點P，且A在O的左側時，

則∠APB=30°．

連結CP，過B作BE⊥l1于E．

則BE=CP=3，

∴OB= =2 ．

∴OA=2 +3．

綜上所述，當A在O的右側，OA=2 或A在O的左側，OA=2 +3時，符合條件的點P有且只有一個

②存在，

如圖4，

當直線l1與⊙C1相交于點P1、P2，與⊙C2相切于點P3時連結C2P3，

過O作OF⊥BC2于F，則OF=C2P3=3，

∴OB= =2 ，

∴OA=2 ﹣3，

如圖5，

當直線l1與⊙C1相切于點P1，與⊙C2相交于點P2、P3時連接C1P1，

過A作AG⊥l1于G

則AG=C1P1=3，

∴OA= =2 ，

綜上所述，當A在O的右側，OA=2 ﹣3或A在O的左側，OA=2 時，符合條件的點P有三個

【解析】解：（1）如圖1，

取線段AB的中點M，過M作MQ⊥l，
∵∠BOQ=30°，OM=OA+ AB=2，OQ= ，
∴MQ=1，
以M點為圓心1為半徑的⊙M過點A，B，Q，
∴∠AQB=90°，
∵∠APB=45°，
∴∠AQB=2∠APB=90°，
∴此時的Q滿足點P是點Q的伴侶點，OQ= ，
所以答案是 ，