Question

【題目】在ABC中，∠BCA=90°，CD是邊AB上的中線，分別過點C，D作BA，BC的平行線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE.

(1)求證：四邊形ADCE是菱形；

(2)若AC=2DE，求sin∠CDB的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析: （1）由DE∥BC，CE∥AB，可證得四邊形DBCE是平行四邊形，又由△ABC中，∠BCA=90°，CD是邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CD=AD=BD=CE，然后由CE∥AB，證得四邊形ADCE平行四邊形的性質，繼而證得四邊形ADCE是菱形；

（2）首先過點C作CF⊥AB于點F，由（1）可知，BC=DE，設BC=x，則AC=2x，然后由勾股定理求得AB，再由三角形的面積，求得CF的長，由勾股定理即可求得CD的長，繼而求得答案．

試題解析:

（1）∵DE∥BC，EC∥AB，

∴四邊形DBCE是平行四邊形．

∴EC∥DB，且EC=DB．

在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，

∴AD=DB=CD．

∴EC=AD．

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∵ED∥BC．

∴∠AOD=∠ACB．

∵∠ACB=90°，

∴∠AOD=∠ACB=90°．∴平行四邊形ADCE是菱形；

（2）過點C作CF⊥AB于點F，

由（1）可知，BC=DE，設BC=x，則AC=2x，

在Rt△ABC中，AB= ， CD= AB= ，

因為 AB·CF= AC·BC，

所以CF= x，

則sin∠CDB= =