Question

【題目】如圖,點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,PE⊥BC于點E,PF⊥CD于點F,連接EF，給出下列五個結論:①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC，其中正確結論的序號是______.

Answer 1

【答案】①②④⑤．

【解析】

過P作PG⊥AB于點G，根據正方形對角線的性質及題中的已知條件，證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎上，根據正方形的對角線平分對角的性質，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC．

證明：過P作PG⊥AB于點G，

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理，得PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

∴△AGP≌△FPE，

∴AP=EF，故①正確；

延長AP到EF上于一點H，

∴∠PAG=∠PFH，

∵∠APG=∠FPH，

∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF，故②正確；

③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45度，

∴當∠PAD=45度或67.5度或90度時，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯誤．

∴∠PFE=∠BAP，故④正確；

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=DF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴DP=EC，故⑤正確．

∴其中正確結論的序號是①②④⑤．