Question

【題目】設函數f（x）= ﹣2+2alnx．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若f（x）在區間[ ，2]上的最小值為0，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣ + = （x＞0）．

a≤0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減．

a＞0時，f′（x）= ，則x∈ 時，函數f（x）單調遞減；

x∈ 時，函數f（x）單調遞增

（2）解：由（1）可得：

①a≤0時，函數f（x）在[ ，2]上單調遞減，則f（2）=1﹣2+2aln2=0，解得a= ，舍去．

②a＞0時，

（i） ≥2，即0＜a≤ 時，f（x）在[ ，2]上單調遞減，則f（2）=1﹣2+2aln2=0，解得a= ，舍去．

（ii）0＜ ，即a≥2時，f（x）在[ ，2]上單調遞增，則f（ ）=4﹣2+2aln =0，解得a= ＜2，舍去．

（iii） ，即 時，f（x）在[ ， ）上單調遞減，在 上單調遞增．

則f（ ）=2a﹣2+2aln =0，化為：2a﹣2=2alna，

令g（x）=2x﹣2﹣2xlnx（x＞0），g（1）=0，

g′（x）=2﹣2lnx﹣2=﹣2lnx，可得x＞1時，函數g（x）單調遞減，1＞x＞0時，函數g（x）單調遞增．

∴x=1時，函數g（x）取得極大值即最大值．

∴g（x）≤g（1）=0，因此2a﹣2=2alna有唯一解a=1．滿足條件．

綜上可得：a=1．

【解析】（1）f′（x）=﹣ + = （x＞0）．分類討論：a≤0時，a＞0時，即可得出單調性．（2）由（1）可得：①a≤0時，函數f（x）在[ ，2]上單調遞減，可得f（2）=0，解得a．②a＞0時，分類討論：（i） ≥2，即0＜a≤ 時；（ii）0＜ ，即a≥2時；（iii） ，即 時，利用其單調性即可得出極值與最值．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．