Question

【題目】如圖 1，直線 y=2x+2 分別交 x 軸、y 軸于點A、B，點C為x軸正半軸上的點，點 D從點C處出發，沿線段CB勻速運動至點 B 處停止，過點D作DE⊥BC，交x軸于點E，點 C′是點C關于直線DE的對稱點，連接 EC′，若△ DEC′與△ BOC 的重疊部分面積為S，點D的運動時間為t（秒），S與 t 的函數圖象如圖 2 所示．

（1）VD ,C 坐標為 ；

（2）圖2中，m= ，n= ，k= .

（3）求出S與t 之間的函數關系式（不必寫自變量t的取值范圍）.

Answer 1

【答案】（1）點D的運動速度為1單位長度/秒，點C坐標為（4，0）．（2）；；．（3）①當點C′在線段BC上時， S＝t2；②當點C′在CB的延長線上， S=t2＋t；③當點E在x軸負半軸， S＝t24t＋20．

【解析】

（1）根據直線的解析式先找出點B的坐標，結合圖象可知當t＝時，點C′與點B重合，通過三角形的面積公式可求出CE的長度，結合勾股定理可得出OE的長度，由OC＝OE＋EC可得出OC的長度，即得出C點的坐標，再由勾股定理得出BC的長度，根據CD＝BC，結合速度＝路程÷時間即可得出結論；

（2）結合D點的運動以及面積S關于時間t的函數圖象的拐點，即可得知當“當t＝k時，點D與點B重合，當t＝m時，點E和點O重合”，結合∠C的正余弦值通過解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面積公式即可得出n的值；

（3）隨著D點的運動，按△DEC′與△BOC的重疊部分形狀分三種情況考慮：①通過解直角三角形以及三角形的面積公式即可得出此種情況下S關于t的函數關系式；②由重合部分的面積＝S△CDES△BC′F，通過解直角三角形得出兩個三角形的各邊長，結合三角形的面積公式即可得出結論；③通過邊與邊的關系以及解直角三角形找出BD和DF的值，結合三角形的面積公式即可得出結論．

（1）令x＝0，則y＝2，即點B坐標為（0，2），

∴OB＝2．

當t＝時，B和C′點重合，如圖1所示，

此時S＝×CEOB＝，

∴CE＝，

∴BE＝．

∵OB＝2，

OE＝，

∴OC＝OE＋EC＝＋＝4，BC＝，CD＝，

÷＝1（單位長度/秒），

∴點D的運動速度為1單位長度/秒，點C坐標為（4，0）．

故答案為：1單位長度/秒；（4，0）；

（2）根據圖象可知：

當t＝k時，點D與點B重合，

此時k＝＝2；

當t＝m時，點E和點O重合，如圖2所示．

sin∠C＝＝＝，cos∠C＝，

OD＝OCsin∠C＝4×＝，CD＝OCcos∠C＝4×＝．

∴m＝＝，n＝BDOD＝×（2）×＝．

故答案為：；；2．

（3）隨著D點的運動，按△DEC′與△BOC的重疊部分形狀分三種情況考慮：

①當點C′在線段BC上時，如圖3所示．

此時CD＝t，CC′＝2t，0＜CC′≤BC，

∴0＜t≤．

∵tan∠C＝，

∴DE＝CDtan∠C＝t，

此時S＝CDDE＝t2；

②當點C′在CB的延長線上，點E在線段OC上時，如圖4所示．

此時CD＝t，BC′＝2t2，DE＝CDtan∠C＝t，CE＝＝t，OE＝OCCE＝4t，

∵，即，

解得：＜t≤．

由（1）可知tan∠OEF＝＝，

∴OF＝OEtan∠OEF＝t，BF＝OBOF＝，

∴FM＝BFcos∠C＝．

此時S＝CDDEBC′FM＝；

③當點E在x軸負半軸，點D在線段BC上時，如圖5所示．

此時CD＝t，BD＝BCCD＝2t，CE＝t，DF＝，

∵，即，

∴＜t≤2．

此時S＝BDDF＝×2×(2t)2＝t24t＋20．

綜上，當點C′在線段BC上時， S＝t2；當點C′在CB的延長線上， S=t2＋t；當點E在x軸負半軸， S＝t24t＋20．