Question

如圖，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，連接BC、DE相交于點F，BC與AD相交于點G．
（1）試說明：△ABC≌△ADE．
（2）如果線段FD是線段FG和FB的比例中項，那么BC平分∠ABD嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）由∠BAD=∠CAE，易得∠BAC=∠DAE，又由在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，利用SAS即可證得：△ABC≌△ADE．
（2）由線段FD是線段FG和FB的比例中項，易證得△FDG∽△FBD，即可得∠FDG=∠FBD，又由△ABC≌△ADE，可得∠ABC=∠ADE，則可證得BC平分∠ABD．

解答：（1）證明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，

AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；

（2）BC平分∠ABD．
理由：∵線段FD是線段FG和FB的比例中項，
∴FG：FD=FD：FB，
∵∠DFG是公共角，
∴△FDG∽△FBD，
∴∠FDG=∠FBD，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
∴∠ABC=∠FBD，
即BC平分∠ABD．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．